大家好啊，我是柯北同学。前几篇我们有提到的三种策略，那么我们今天来讲一讲“跳跃策略”的原理吧！对于我们的游戏规则大家应该都还记得吧，不记得的话，为了锻炼大家勤动手的习惯不如大家倒回第一篇阅读呗(柯北懒了)。总的来说我们的问题就是让100个囚犯每个人都在50次机会总找到自己对应的编号卡牌，有一个人没有抽到的话全员淘汰！那么我们的“跳跃策略”如下：当第n个囚犯来参加游戏，优先走到第n个位置去打开卡牌，如果卡牌正好是我们的对应号码，那么直接获胜，如果不是我们对应的号码，那么我们按照我们这张翻出来的号码去对应的位置继续翻开卡牌，直到50次机会用完或者找到了自己的号码次轮结束。之前我们有讨论过“随缘策略”和“分裂策略”的游戏胜率，那就是惨不忍睹；但是“跳跃策略”为什么成功率会高达百分之三十呢？对于每个人的抽卡回合而言，由于这100张卡是随机打乱扣在桌面上的，单个囚犯的胜率是0.5，这个大家都是赞同的，那么为啥靠策略还能提高通过率呢？我们来分析一下这个“跳跃策略”，为了更好的理解这个策略，我们可以举一个小一点的例子，假设这里只有8个囚犯，而我们面前有8张随机排列的卡牌大小从1到8，我们1每个囚犯有4次机会。现在我们假设我是一号位囚犯，那么我按照“跳跃策略”来看的话，我首先来到1号位置，打开卡牌，看到了里面是5号卡牌，啧啧啧运气不好啊~然后我来到了5号位置，打开卡牌，看到了里面的2号卡牌，啧啧啧运气还是不太行啊~然后我来到了2号位置，打开卡牌，看到了里面的3号卡牌，啧啧啧这就有点慌了呀~接着我来到了3号位置，打开卡牌，看到了里面的7号卡牌，我靠！这不是凉了嘛？~~~呃呃呃有点小尴尬啊，那可咋整啊，不行难道这个策略是忽悠人的吗？不甘心的我来到了7号位置，打开卡牌，终于看到了对应的1号卡牌……虽然在我的环节直接导致了全员淘汰，但是这只是一个失败的案例，柯北在这里只是想要用一个极端点的例子来给大家更好的讲解，成功的案例有很多，没有任何一个策略可以百分百的成功。那么大家通过这个环节有发现这个策略的灵感来自哪里了吗？数学是一门美丽的学科，它不只是单纯的计算，更多的是利用建模，这里使用的是一个很简单的环套建模。就拿上述例子来讲解，我们可以直观的看到：我们一开始翻出5号，接下来翻出了2号，然后翻出了3号，接下来翻出了7号，接着终于翻到了1号，而我们从1号又会翻回去5号，5——>2——>3——>7——>1——>5 ，这是一个闭环，我们有人会问啊，那么这里只有52371啊，那么数字468去哪里了呢？我们一组数随机排列，按照“跳跃策略”来查看的话，也不单单是形成一个环嘛，对吧我举个例子呗，我们剩下的468，他们在随机排列中，4号位置可能放着8号卡牌，8号位置可能放着4号卡牌，而6号位置可能就算6号卡牌，那么这1~8就会形成三个闭环(Ring)。那么我们刚刚的例子如果柯北同学作为1号囚犯，在这个最大的环中确实是不可能在4次机会中找到自己的卡牌，毕竟这个最大的环都有超过4个数字连接。讲到这里，也许大家都明白了，没错，要想获胜，其实这个策略就是在赌我们的随机排列是否产生了超过4个数字连接的环，只要产生了超过4个数字连接的环，那么我们必输无疑，如果没有超过4个数字连接的环，那么我们必赢无疑！欸？有人还要问啦，听起来很有道理，但是有没有可能我们想要找到的号码在一个环中，而我们一开始却是在另一个环中进行的呢？嗯？这个问题柯北也有想过哦，但是是不可能的，就拿刚刚的例子来解释吧！1号位置， 5号卡牌， ——> F(1) = 55号位置， 2号卡牌， ——> F(5) = 22号位置， 3号卡牌， ——> F(2) = 33号位置， 7号卡牌， ——> F(3) = 77号位置， 1号卡牌， ——> F(7) = 1发现了吗，如果我们严格按照“跳跃策略”来执行的话，我们是可以保证在我们会在拥有对应编号的那个环中搜索的！唯一失败的可能就是这个环太大了，拥有超过半数的数字连接。那么这是针对我们的8个囚犯的例子。对于我们的100个囚犯来看，我们全员通过的概率如何计算呢？对于这个策略，我们如果直接计算全员通过的概率可能有点复杂，但是我们知道，全员通过概率 = 1 – 全员不通过概率，那么我们的全员不通过概率是多大呢？全员不通过概率 = 产生超过50个数字连接的环的概率 = 产生51~100个数字连接的概率 = 产生51个数字连接的概率+产生51个数字连接的环+……+产生100个数字连接的环那我们先来算下产生51个数字连接的环有多少种排列可能，首先我们要从100个编号中随机抽51个编号来组合，反正随便抽51个数字出来就完了，它的可能性有(100, 51) 种(这个是排列组合的公式，具体原理可以自行查，或者柯北找时间科普~)，但是我们不能单纯就抽51个出来组合，难道我们剩下来的49个就不看了吗？看还是要看的，但是他们具体怎么排列的我就不是很关心啦，所有剩下的49个数字就有49！种排列方式。OK，那我们结束了吗？不不不，当然不，还少一项，我们抽出了51个数字来做环，那我们怎么做这个环也是有讲究的吧，那我们有多少种做环的组合呢？我们有50！种来做一个环，也就是（51-1）！种。然后我们要做的就算将这三项相乘就是拥有51个数字连接的环的排列可能了。接下来我们就需要计算全部51-100的排列总和，那我们的表达式如下：这里千万不要忘记每个都乘上1/100！哦因为我们如果要计算概率的话是需要除以所有可能的排列，我们想要的结果出现的概率 = 我们想要的结果有多少可能组合 / 一共可能出现的组合然后我们再使用1去减去现在这个式子的结果，就是我们的获胜的概率啦！结果就是百分之31！感兴趣的朋友们可以自行验算一下哦~~~每个游戏之所以存在必有其破解的策略，我们有些时候不要认为此事不可认为就草草放弃思考和讨论，人类因思考而伟大，因探讨而进化，希望更多的朋友们愿意去使用数学建模的去换个角度思考问题，也许对你的生活没有什么影响，但是有朝一日你终会发现，冥冥之中一切皆以变化！我是大侦探柯北！衷心感谢您的阅读！您的陪伴是我莫大的荣幸~~~
